A distribuição de Poisson é uma ferramenta valiosa para modelar dados de contagem, representando a probabilidade de um número específico de eventos dentro de um período de tempo ou espaço fixo, assumindo uma taxa média constante e independência de eventos. No entanto, conjuntos de dados do mundo real frequentemente desviam dessas condições ideais. Este artigo explora o ajuste de distribuições de Poisson a diversos conjuntos de dados em Python, abordando desafios como a superdispersão.
Sumário
- Ajuste Básico da Distribuição de Poisson em Python
- Método dos Mínimos Quadrados Agrupados
- Abordando a Superdispersão com a Distribuição Binomial Negativa
- Conclusão
Ajuste Básico da Distribuição de Poisson em Python
Vamos começar com o processo fundamental de ajustar uma distribuição de Poisson usando a biblioteca scipy.stats. A função principal é poisson.fit(), que estima λ (lambda), representando a taxa média de eventos.
import numpy as np
from scipy.stats import poisson
import matplotlib.pyplot as plt
# Dados de amostra: Número de carros passando por um ponto por minuto (100 minutos)
data = np.random.poisson(lam=5, size=100)
# Ajustar a distribuição de Poisson
lambda_fit, = poisson.fit(data)
# Exibir o lambda ajustado
print(f"Lambda ajustado: {lambda_fit}")
# Preparar para o gráfico
x = np.arange(0, max(data) + 1)
# Plotar histograma e distribuição ajustada
plt.hist(data, bins=range(max(data) + 2), density=True, alpha=0.6, label='Dados')
plt.plot(x, poisson.pmf(x, lambda_fit), 'r-', label=f'Poisson Ajustada (λ={lambda_fit:.2f})')
plt.xlabel('Número de Carros')
plt.ylabel('Probabilidade')
plt.legend()
plt.title('Ajuste da Distribuição de Poisson')
plt.show()
Esta abordagem simples funciona bem quando os dados seguem de perto uma distribuição de Poisson. No entanto, dados do mundo real muitas vezes desviam.
Método dos Mínimos Quadrados Agrupados
Embora poisson.fit() seja conveniente, o método dos Mínimos Quadrados Agrupados oferece uma alternativa mais robusta, particularmente com dados limitados ou desvios significativos das premissas de Poisson. Este método envolve a agrupamento dos dados e a minimização das diferenças quadradas entre as frequências observadas e esperadas. A implementação requer otimização iterativa (por exemplo, usando scipy.optimize.minimize) e está além do escopo deste exemplo conciso, mas é facilmente encontrada em pacotes estatísticos dedicados.
Abordando a Superdispersão com a Distribuição Binomial Negativa
A superdispersão surge quando a variância dos dados excede sua média, violando uma premissa chave de Poisson (variância igual à média). A distribuição binomial negativa, acomodando a superdispersão, fornece um ajuste superior nesses casos.
from scipy.stats import nbinom
# Exemplo de dados superdispersos
overdispersed_data = np.random.negative_binomial(n=2, p=0.5, size=100)
# Ajustar a distribuição binomial negativa
n_fit, p_fit = nbinom.fit(overdispersed_data)
# Exibir os parâmetros ajustados
print(f"n ajustado: {n_fit}")
print(f"p ajustado: {p_fit}")
# Preparar para o gráfico
x = np.arange(0, max(overdispersed_data) + 1)
# Plotar histograma e distribuição ajustada
plt.hist(overdispersed_data, bins=range(max(overdispersed_data) + 2), density=True, alpha=0.6, label='Dados')
plt.plot(x, nbinom.pmf(x, n_fit, p_fit), 'r-', label=f'Binomial Negativa Ajustada (n={n_fit:.2f}, p={p_fit:.2f})')
plt.xlabel('Número de Eventos')
plt.ylabel('Probabilidade')
plt.legend()
plt.title('Ajuste Binomial Negativo para Dados Superdispersos')
plt.show()
Isso demonstra como a distribuição binomial negativa captura efetivamente as características de dados superdispersos, oferecendo um modelo mais preciso do que forçar um ajuste de Poisson.
Conclusão
O ajuste eficaz da distribuição de Poisson requer análise cuidadosa dos dados. Embora poisson.fit() forneça um ponto de partida simples, reconhecer e abordar a superdispersão usando a distribuição binomial negativa é crucial para a modelagem precisa de dados de contagem. A escolha da distribuição depende das características específicas do conjunto de dados. A inspeção visual do ajuste usando gráficos garante que a distribuição escolhida represente com precisão os dados.